선택공리의 철학

수학의 세계에 던져진 가장 대담하고 위험한 질문, '선택공리'를 아시나요? 이 공리는 "무한히 많은 상자가 있고 각 상자에 최소 하나 이상의 구슬이 들어있다면, 각 상자에서 정확히 하나의 구슬을 꺼내 새로운 컬렉션을 만들 수 있다"는, 너무나도 당연해 보이는 명제에서 출발합니다. 하지만 이 순진한 가정은 20세기 수학 전체를 뒤흔드는 거대한 파장을 일으켰습니다. 이 책은 선택공리가 수학계에 처음 등장하게 된 역사적 배경부터 시작합니다. 위대한 수학자 체르멜로가 '모든 집합은 정렬될 수 있다'는 정리를 증명하기 위해 선택공리를 명시적으로 사용했을 때, 어떤 논쟁이 불붙었는지 생생하게 추적합니다. 이후 쿠르트 괴델이 선택공리가 기존 수학 체계와 모순되지 않음을 증명하고, 폴 코언이 반대로 선택공리를 증명할 수도 없음을 밝혀내기까지, 수학의 기초를 탐구한 천재들의 지적 여정을 따라갑니다. 책의 하이라이트는 단연 '바나흐-타르스키 역설'입니다. 어떻게 단 하나의 완두콩을 분해하고 재조립해서 지구만 한 크기의 완두콩 두 개를 만들 수 있다는 결론이 수학적으로 가능한지, 그 기묘하고도 논리적인 과정을 상세히 파헤칩니다. 이 역설은 우리가 가진 공간과 부피에 대한 직관이 얼마나 허술한지를 보여주는 동시에, 선택공리가 가진 상상 초월의 힘을 실감하게 합니다. 마지막으로, 우리는 수학의 영역을 넘어 철학의 세계로 나아갑니다. 선택공리는 '수학적 대상은 인간의 정신과 무관하게 존재하는가, 아니면 인간에 의해 구성되는가?'라는 근원적 질문을 던집니다. 존재하지만 구성할 수 없는 것들을 인정할 것인가? 이 책은 선택공리라는 프리즘을 통해 플라톤주의와 직관주의가 어떻게 충돌하는지 보여주며, 진리란 무엇이고 수학의 미래는 어떤 모습일지에 대한 깊은 통찰을 제공할 것입니다.

무(無)로부터 유(有)를 끌어내는 해적. “무자본 창업”의 창시자이자 시공간의 본질을 파헤치는 철학적 기업가. ‘존재만으로 충분하다’는 믿음으로 우주의 문을 노크한다.

프롤로그: 논란의 중심에 선 무한의 선택 Chapter 1: 무한을 다루는 새로운 도구, 선택공리의 등장 Chapter 2: 거인의 어깨 위에서: 괴델과 코언의 증명 Chapter 3: 완두콩으로 태양을 만들다? 바나흐-타르스키 역설 Chapter 4: 선택의 철학적 의미: 존재하되 구성할 수 없는 것들 Chapter 5: 공리, 진리, 그리고 수학의 미래