무한의 역설: 집합론이 밝혀낸 수학의 궁극적 기초

현대 수학의 모든 경이로운 세계는 단 하나의 근본적인 토대, '집합론' 위에 세워져 있습니다. 이 이론은 "무엇을 한데 모을 수 있는가?"라는 가장 단순한 질문에서 출발하지만, 그 끝에는 상상을 초월하는 심오함과 아찔한 역설이 자리하고 있습니다. 19세기 말, 독일의 수학자 게오르크 칸토어는 인류가 수천 년간 두려워하고 피해왔던 '무한(Infinity)'의 개념을 정면으로 파고들었습니다. 그는 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는 충격적인 사실을 증명하며 무한의 첫 번째 비밀을 벗겨냈습니다. 더 나아가, 무한에도 서로 다른 '크기'가 존재하며, 수직선 위의 점들의 무한이 자연수의 무한보다 '훨씬 더 크다'는 사실을 밝혀내 수학계 전체를 뒤흔들었습니다. 이 책은 칸토어의 손을 잡고 무한의 세계로 떠나는 지적 탐험기입니다. 방이 무한히 많아 만실임에도 불구하고 언제나 새로운 손님을 받을 수 있는 '힐베르트의 무한 호텔'이라는 역설적인 공간을 거닐며, 우리의 직관이 어떻게 무한 앞에서 무너지는지 생생하게 체험할 것입니다. 하지만 이 여정은 무한의 아름다움을 발견하는 데서 그치지 않습니다. 집합론 스스로가 파놓은 함정, '자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 집합'이라는 '러셀의 역설'이 등장하며 수학의 논리적 기초 전체를 붕괴 직전까지 몰고 갑니다. 《무한의 역설》은 이 파란만장한 지적 드라마를 담고 있습니다. 가장 단순한 개념인 '모임'에서 출발하여 어떻게 현대 수학의 논리적 뼈대가 세워졌는지, 무한의 다양한 크기는 어떻게 정의되는지, 그리고 치명적인 역설의 위기 속에서 수학자들이 어떻게 이론을 재건하여 가장 안전하고 단단한 기초를 마련했는지 그 모든 과정을 추적합니다. 이 책을 통해 독자들은 수학의 가장 깊은 곳에 숨겨진 경이로움과 그 기초를 위협했던 심연을 동시에 마주하게 될 것입니다.

취미로 과학과 수학을 연구하며 이를 생활과 비즈니스에 적용하기를 좋아하는 아마추어 물리학자, 아마추어 수학자, 아마추어 철학자다.

프롤로그: 우리는 무엇을 셀 수 있는가? Chapter 1: 칸토어, 무한을 길들이다 Chapter 2: 무한에도 크기가 있다 Chapter 3: 힐베르트의 무한 호텔 Chapter 4: 러셀의 역설과 수학의 위기 Chapter 5: 공리, 수학을 구원하다 에필로그: 무한의 기초 위에 서서