공리란 무엇인가?

수학은 절대적 진리의 왕국처럼 보입니다. 모든 정리는 빈틈없는 논리로 증명되고, 그 어떤 의심도 허용하지 않는 견고한 체계를 이룹니다. 하지만 이 거대한 논리의 성채는 과연 무엇 위에 서 있을까요? 모든 증명에는 증명 없이 참이라고 받아들여야 하는 최초의 출발점이 필요합니다. 우리는 이것을 '공리(Axiom)'라고 부릅니다. 이 책 《공리란 무엇인가?》는 수학의 가장 깊은 곳, 모든 논리가 시작되는 근원을 탐험하는 지적 여정입니다. 우리는 2000년 넘게 진리의 대명사로 여겨졌던 유클리드 기하학의 공리가 어떻게 도전을 받았고, 그 결과 상상 속에서만 존재할 것 같았던 '비유클리드 기하학'이라는 새로운 세계가 탄생했는지 살펴봅니다. 공리는 '자명한 진리'가 아니라, 우리가 탐험할 세계의 규칙을 정하는 '선택'의 문제였음을 깨닫게 될 것입니다. 더 나아가, 20세기 초 수학의 기초를 송두리째 흔들었던 '러셀의 역설'을 마주하게 됩니다. 무한을 다루려던 집합론이 어떻게 자기모순의 늪에 빠졌으며, 수학자들이 이 위기를 극복하기 위해 어떻게 '공리적 집합론'이라는 견고한 방패를 만들어냈는지 그 과정을 추적합니다. 이는 논리가 스스로를 구원하기 위해 벌인 치열한 투쟁의 역사입니다. 마지막으로 우리는 쿠르트 괴델이 던진 충격적인 질문에 도달합니다. 만약 수학이 공리라는 출발점에서 쌓아 올린 체계라면, 그 체계 안에서 증명할 수 없는 진리도 존재하지 않을까? '불완전성 정리'는 공리적 체계가 지닌 근본적인 한계를 드러내며, 완벽한 수학을 꿈꿨던 인류의 희망에 종언을 고합니다. 이 책은 공리의 역사를 통해 수학이 단순한 계산의 학문이 아니라, '무엇을 믿고 시작할 것인가'라는 철학적 질문에 답하며 끊임없이 발전해 온 인간 정신의 위대한 모험임을 보여줍니다. 독자 여러분은 증명의 첫걸음을 이해하고, 불완전함 속에서 확실성을 쌓아 올린 수학의 경이로운 구조를 목격하게 될 것입니다.

취미로 과학과 수학을 연구하며 이를 생활과 비즈니스에 적용하기를 좋아하는 아마추어 물리학자, 아마추어 수학자, 아마추어 철학자다.

프롤로그: 모든 것을 시작하는 첫 문장 Chapter 1: 완벽한 세계의 균열 - 유클리드의 다섯 번째 공리 Chapter 2: 새로운 세계의 탄생 - 평행선이 여러 개일 수 있다면? Chapter 3: 기초의 붕괴 - 모든 것을 담는 집합의 역설 Chapter 4: 다시 세우는 논리의 성채 - 공리적 집합론 ZFC Chapter 5: 증명할 수 없는 진리 - 괴델의 불완전성 정리 에필로그: 불완전함 위에 세워진 확실성의 세계