복소평면 그 의미와 영향

제곱해서 음수가 되는 수는 존재할 수 있을까? 수 세기 동안 수학자들은 이 질문 앞에서 ‘허수(imaginary number)’라는 이름을 붙이며 그 실체를 인정하기를 주저했다. 허수는 오랫동안 방정식 풀이를 위한 불가피한 계산 도구였을 뿐, 수직선 위 어디에도 존재하지 않는 유령 같은 존재였다. 이 책은 위대한 수학자 칼 프리드리히 가우스가 어떻게 이 해묵은 패러다임을 무너뜨리고 수학의 새로운 지평을 열었는지 탐구한다. 가우스는 허수를 포함한 복소수를 ‘상상 속의 수’에서 끌어내어 기하학적 실체를 부여했다. 그는 1차원의 수직선을 2차원의 평면으로 확장하는 혁명적 발상을 통해, 모든 복소수가 평면 위의 한 점에 유일하게 대응됨을 보였다. 이것이 바로 ‘복소평면(가우스 평면)’의 탄생이다. 복소평면의 등장은 단순한 시각화를 넘어, 수의 연산에 대한 근본적인 이해를 바꾸어 놓았다. 덧셈은 평면 위 벡터의 합으로, 곱셈은 경이로운 ‘회전’과 ‘확장’의 기하학적 변환으로 재탄생했다. 이로써 대수학과 기하학은 하나의 언어로 통합되었고, 이는 복소해석학이라는 거대한 분야를 낳는 기폭제가 되었다. 本書는 가우스의 복소평면이 어떻게 대수학의 기본 정리를 명쾌하게 증명하고, 나아가 양자역학, 전기공학, 유체역학, 신호처리에 이르기까지 현대 과학과 기술의 핵심 언어로 자리 잡게 되었는지를 체계적으로 추적한다. 추상적인 개념 하나가 세상을 이해하는 방식을 어떻게 송두리째 바꾸었는지, 그 지적 혁명의 여정을 생생하게 그려낸다. 독자들은 복소평면이라는 창을 통해 수학의 아름다움과 그 무한한 영향력을 깊이 있게 체험하게 될 것이다.

취미로 과학과 수학을 연구하며 이를 생활과 비즈니스에 적용하기를 좋아하는 아마추어 물리학자, 아마추어 수학자, 아마추어 철학자다.

프롤로그: 보이지 않는 수를 그리다 Chapter 1: 허수의 탄생과 방황 Chapter 2: 가우스의 위대한 발상, 수를 평면으로 옮기다 Chapter 3: 복소평면의 기하학: 회전하고 성장하는 수 Chapter 4: 수학의 지평을 넓히다: 복소해석학과 대수학의 기본 정리 Chapter 5: 현실 세계를 그리다: 과학과 공학의 언어가 된 복소평면 에필로그: 개념의 전환이 가져온 위대한 혁명