무한집합: 끝없는 세계의 구조

우리는 ‘무한’이라는 말을 일상에서 흔히 사용합니다. 끝없이 펼쳐진 밤하늘이나 바다를 보며 무한하다고 느끼고, 셀 수 없이 많은 양을 이야기할 때 무한대라는 표현을 빌려옵니다. 하지만 우리가 감각적으로 느끼는 무한은 대부분 크다는 것에 대한 감탄이나 비유에 가깝습니다. 수학은 이러한 모호함을 그대로 두지 않고, ‘무한’을 엄밀하게 정의하며 그 안에 숨겨진 질서와 구조를 탐구합니다. 19세기 말, 수학자 게오르크 칸토어는 무한이 단순히 ‘끝이 없는 상태’가 아니라, 서로 다른 크기와 위계를 가진 정교한 세계라는 혁명적인 사실을 발견했습니다. 어떤 무한은 다른 무한보다 명백히 ‘더 크다’는 것을 증명해낸 것입니다. 이는 유한한 세계의 직관으로는 상상하기 어려운, 무한이라는 우주가 가진 고유의 법칙이었습니다. 이 책은 칸토어가 열어 보인 무한집합의 세계를 탐험하는 작고 친절한 안내서입니다. 복잡한 수식이나 어려운 기호 대신, 일대일 대응, 힐베르트 호텔 같은 직관적인 비유와 이야기를 통해 무한의 개념을 차근차근 풀어갑니다. ‘셀 수 있는 무한’과 ‘셀 수 없는 무한’은 어떻게 다른지, 무한의 세계에는 어떤 단계와 질서가 존재하는지, 그리고 현대 수학이 아직 풀지 못한 무한의 질문은 무엇인지 함께 따라가 봅니다. 이 책을 통해 독자는 세상의 크기를 재는 것을 넘어, 생각할 수 있는 세계의 한계를 넓히는 지적인 즐거움을 경험하게 될 것입니다.

취미로 과학과 수학을 연구하며 이를 생활과 비즈니스에 적용하기를 좋아하는 아마추어 물리학자, 아마추어 수학자, 아마추어 철학자다.

프롤로그: 끝이 없다는 것은 무엇을 의미하는가 Chapter 1: 유한과 무한 — 경계의 탄생 Chapter 2: 셀 수 있는 무한 — 정렬된 세계 Chapter 3: 셀 수 없는 무한 — 연속의 심연 Chapter 4: 무한의 위계 — 알레프와 연속체 Chapter 5: 무한의 운명 — 증명할 수 없는 세계 에필로그